Les enseignements

La première semaine est consacrée à la présentation de deux approches majeures des probabilités libres : la combinatoire des partitions non croisées et les modèles de grandes matrices aléatoires. Des séances d'exercices seront organisées afin de faciliter l'assimilation de ces outils fondamentaux.

La deuxième semaine poursuivra l'étude des connexions entre les probabilités libres et différents domaines des mathématiques : le calcul de Weingarten, les asymptotiques de la théorie des représentations du groupe symétrique et les algèbres et espaces d'opérateurs.

Quelques exposés de jeunes doctorants et chercheurs compléteront ce panorama de la recherche autour des probabilités libres.

A l'exception du cours de Roland Speicher, en anglais, les enseignements auront lieu en français.

Les orateurs

Philippe Biane : « Représentations du groupe symétrique et probabilités libres »

Directeur de recherche, CNRS.

Après une première partie consacrée aux représentations des groupes finis et à la dualité de Schur-Weyl, le cours détaillera le calcul des caractères du groupe symétrique et montrera comment leurs asymptotiques peuvent être décrites avec les cumulants libres. Ces résultats seront appliqués à l'étude de l'asymptotique des opérations sur les représentations.

Benoît Collins : « Calcul de Weingarten et applications »

Professeur, Université de Kyoto.

Cette série de leçons a pour but d'introduire au calcul de Weingarten, une méthode pour calculer les intégrales de fonctions polynomiales sur les groupes de matrices compacts par rapport à leur mesure de Haar. Cette méthode s'appuie sur des outils de la théorie des représentations et a de nombreuses applications en théorie des probabilités, matrices aléatoires, probabilités libres, groupes quantiques et information quantique. Le cours présentera certaines de ces applications.

Catherine Donati-Martin : « Spectre de grandes matrices aléatoires et liberté asymptotique »

Professeur, Université de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines.

Le cours introduira à l'étude du spectre des grandes matrices aléatoires de Wigner, à son comportement global et local. Le lien sera fait avec les probabilités libres : deux matrices de Wigner indépendantes sont asymptotiquement libres quand la taille de la matrice tend vers l'infini.

Mikael de la Salle : « Introduction aux espaces d'opérateurs »

Chargé de recherche, CNRS.

Les espaces d'opérateurs sont des sous-espaces vectoriels de l'algèbre des opérateurs bornés sur un espace de Hilbert. Avec les fonctions complètement bornées, ils constituent l'analogue non commutatif de la théorie des espaces de Banach, en relation étroite avec la théorie des probabilités libres. Ce cours présentera les bases de la théorie des espaces d'opérateurs et ses liens avec les probabilités libres.

Roland Speicher : « Combinatorics of free probability »

Professeur, Université de la Sarre.

This course will explain the basic concepts and results of free probability, in relation to operator algebras and random matrices, and with special emphasis on the combinatorial structure of the theory.