$\parbox{10cm}{\scriptsize\bf Université René Descartes -- Paris 5\\... ...2.3cm} {\large \bf Sujet 1 }\\ 45, rue des Saints-Pères 75270 Paris cedex 06}$

Calcul scientifique : examen du 20 juin 2005

L1 : Licence sciences et technologies,
mention mathématiques, informatique et applications

Nombre de pages de l'énoncé : 3. Durée 1 heure 30.

NB : L'examen se compose de 10 questions indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, indiquez sur votre copie les lettres des 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont données rapporte 2 points.
Tout document est interdit. Les calculatrices et les téléphones portables, même à titre d'horloge, sont également interdits.

Attention : les lignes de commande sont indépendantes les unes des autres, c'est-à-dire que l'on suppose que pour chaque affirmation proposée on vient de démarrer une nouvelle session Scilab.
Rappel : Les codes des couleurs sont 1 pour noir et 5 pour rouge. Question 1. Les lignes proposées sont écrites dans un éditeur et sauvegardées dans un fichier intitulé f.sci. On utilise ensuite la commande getf("f.sci"). Cela permet de définir une fonction qui à deux matrices carrées de même taille $A=(a_{i,j})$ et $B=(b_{i,j})$, associe $C=(c_{i,j})$ telle que $c_{i,j}=\min(a_{i,j},b_{i,j})$ :

A :

(FAUX) C=min(A,B)

B :

(VRAI) function C=f(A,B)
C=B;
bool=A<B;
C(bool)=A(bool);
endfunction

C :

(FAUX) n=size(A); for i=1:n(1), for j=1:n(2), C(i,j)=min(A(i,j),B(i,j)); end; end;

D :

(VRAI) function C=f(A,B)
C=min(A,B);
endfunction

E :

(FAUX) function f(A,B)
C=min(A,B);
endfunction

Question 2. La commande plotframe([-2,-2,2,2],[2,10,2,10]); suivie de la ligne de commande proposée affiche un rectangle.

A :

(VRAI) x=[-1,1,1,-1,-1];y=[-1,-1,1,1,-1]; plot2d(x,y);

B :

(FAUX) x=[-1,-1,1,1];y=[-1,1,-1,1]; plot2d(x,y);

C :

(VRAI) x=[-1,-1,1]';y=[-1,1,1]'; plot2d([x,y],[y,x],[1,1])

D :

(FAUX) x=[-1,-1,1];y=[-1,1,1]; plot2d([x,y],[y,x],[1,1])

E :

(FAUX) x=[-1,-1,1,1;-1,1,1,-1]; y=[-1,1,1,-1;1,1,-1,-1]; plot2d(x,y,[1,1,1]);

Question 3. Les lignes proposées sont écrites dans un éditeur et sauvegardées dans un fichier intitulé f.sci. On utilise ensuite la commande getf("f.sci"). Cela permet de définir une fonction qui prend en entrée une matrice $A=(a_{ij})$ et retourne en sortie une matrice $B=(b_{ij})$ de mêmes dimensions telle que $b_{ij}=a_{ij}$ si $i$ est pair et $b_{ij}=0$ sinon.

A :

(FAUX) function B=f(A)
B=kron(A,[0;1]);
endfunction

B :

(FAUX) function B=f(A)
for i=1:n,
B(i,:)=0;
end;
endfunction

C :

(VRAI) function B=f(A)
B=A; n=size(A,"r");
for i=1:2:n,
B(i,:)=0;
end;
endfunction

D :

(VRAI) function B=f(A)
B=A; n=size(A,"r");
indices = find( (-1)^[1:n]==-1 );
B(indices,:)=0;
endfunction

E :

(FAUX) function B=f(A)
C=ones(size(A,"c"),1)*( (-1)^[1:size(A,"r")] );
B=(A+A*C)/2;
endfunction

Question 4. Les opérations suivantes définissent la fonction moins qui retourne la différence de deux matrices :

A :

(FAUX) Sauver dans le fichier f.sci les lignes
function C=f(A,B)
C=A-B;
endfunction
puis charger le fichier par getf("f.sci")

B :

(VRAI) Sauver dans le fichier f.sci les lignes
function C=moins(A,B)
C=A-B;
endfunction
puis charger le fichier par getf("f.sci")

C :

(FAUX) Sauver dans le fichier f.sci les lignes
function moins(A,B)
C=A-B;
endfunction
puis charger le fichier par getf("f.sci")

D :

(FAUX) Sauver dans le fichier f.sci les lignes
function C=moins(A,B)
for i=1:n, for j=1:n, C(i,j)=A(i,j)-B(i,j); end; end;
endfunction
puis charger le fichier par getf("f.sci")

E :

(VRAI) Sauver dans le fichier f.sce la ligne
deff("C=moins(A,B)","C=A-B")
puis charger le fichier par exec("f.sce")

Question 5. Les lignes de commande suivantes affichent une représentation graphique correcte de la fonction:
$f(x)= \displaystyle \frac{1}{\sin(x)}$, pour $x\in ]-\pi,+\pi[$ :

A :

(VRAI) e=0.1; x=linspace(e,%pi-e,200); x=[x'-%pi,x']; y=(1)./sin(x); plot2d(x,y,[5,5]);

B :

(FAUX) x=[0:0.001:%pi]; x=[x'-%pi,x']; y=(1)./sin(x); plot2d(x,y,[5,5]);

C :

(FAUX) x=[-%pi:%pi]; y=(1)./sin(x); plot(x,y);

D :

(FAUX) x=[-%pi+0.1:0.1:%pi-0.1]; y=1/sin(x); plot(x,y);

E :

(VRAI) x=[0.1:0.01:%pi-0.1]'; y=(1)./sin(x); plot2d([x-%pi,x],[-y,y],[5,5]);

Question 6. La ligne de commande suivante :
x=linspace(-%pi,%pi,50)'; y=[]; for i=-1:1, y=[y,sin(x.*i)]; end; plot2d([x,x,x],y);

A :

(FAUX) trace les courbes $y=\sin(-x)$, $y=0$ et $y=\sin(x)$ de même couleur.

B :

(FAUX) renvoie un message d'erreur.

C :

(VRAI) trace les courbes $y=\sin(-x)$, $y=0$ et $y=\sin(x)$ avec des couleurs différentes.

D :

(VRAI) donne le même résultat que :
x=linspace(-%pi,%pi,50)'; y=[sin(-x),zeros(50,1),sin(x)]; plot2d([x,x,x],y,[1,2,3]);

E :

(FAUX) ne trace que la courbe $y=\sin(x)$.

Question 7. La ligne de commande suivante affiche une valeur numérique proche de $\int_0^{10}\sqrt{t}\, dt$ :

A :

(VRAI) integrate("sqrt(x)","x",0,10)

B :

(FAUX) t=[0,10]; inttrap(t,sqrt(t))

C :

(VRAI) t=[0:0.001:10]; inttrap(t,sqrt(t))

D :

(FAUX) t=[0:0.001:10]; cumsum(sqrt(t))

E :

(FAUX) t=[0:0.001:10]; sum(sqrt(t)/0.001)

Question 8. On pose A=[1:4;4:-1:1;0:3] et v=[2;2;3] :

A :

(FAUX) v'*A*v est un réel.

B :

(VRAI) v*v' est une matrice à trois lignes et trois colonnes.

C :

(FAUX) v(3:-1:1)'==A(3,:) donne [T T T]

D :

(VRAI) v(3:-1:1)==A(:,3) donne [T T T]'

E :

(FAUX) B=A'; B(:,3)==v donne [T T T]

Question 9. La ligne de commande proposée affiche le vecteur ligne v=[1,2,3,...,99,100] :
(NB : v est le vecteur ligne qui contient tous les entiers de 1 à 100, mais pour des raisons évidentes de place, nous n'avons pu tous les écrire...)

A :

(VRAI) v=linspace(1,100,100)

B :

(FAUX) v=[1:0.1:100]

C :

(VRAI) v=[]; for i=1:100, v=[v,i]; end; v

D :

(FAUX) v=1; for i=1:100, v=[v,i+1]; end; v

E :

(FAUX) for i=1:100, v=[v,i]; end; v

Question 10. Soit A=[0:3;3:-1:0]+%i*[1:4;4:-1:1]. La ligne de commande proposée affiche une matrice réelle ou complexe à deux lignes et quatre colonnes :

A :

(FAUX) A.'

B :

(FAUX) conj(A);

C :

(VRAI) real(A)

D :

(VRAI) abs(A)

E :

(FAUX) real(A)<imag(A)