Université René Descartes

UFR Mathématiques et Informatique

2004-2005

Licence 1ère année, UE MC1

Examen 2ème session

1 février 2005

durée 1h30

(a) Pour chaque question du questionnaire à choix multiples, quatre réponses sont proposées : deux réponses sont exactes et deux réponses sont fausses. L'étudiant répondra en cochant, sur la feuille de réponse jointe à l'énoncé, les deux cases des réponses qu'il pense correctes. Les points ne seront accordés que si les deux réponses correctes, et elles seules, ont été cochées. Aucun point ne sera accordé si une seule réponse, même correcte, est cochée. La feuille de réponse ne doit pas être raturée.

Tout document est interdit. Les calculatrices et les téléphones portables, même à titre d'horloge, sont également interdits.

On considère $${z=\frac{1+i\sqrt{3}}{\sqrt{3}+i}}$$

V

$\vert z\vert=1$

F

L'argument de $z$ est $\pi/3$ .

V

L'argument de $z$ est $\pi/6$ .

F

$${\bar z=\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}}$$ .

F

$${{\rm arctan}\left(\tan\left(\frac{9\pi}{4}\right)\right)=\frac{9\pi}{4}}$$ .

V

$${{\rm arctan}\left(\tan\left(\frac{9\pi}{4}\right)\right)=\frac{\pi}{4}}$$ .

V

$${{\rm arctan}\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{-\pi}{6}}$$ .

F

$${{\rm arctan}\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}}$$ .

On considère, dans $E={\mathbb{R}}^3$ , la famille de vecteurs ${\cal S}=\{(-1,1,3), (1,1,2), (-5,-1,0) \}$ .

F

La famille ${\cal S}$ est libre.

V

La famille ${\cal S}$ est liée.

V

L'espace vectoriel engendré par ${\cal S}$ est $\{ (x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3 / x-5y+2z=0 \}$

F

$(-1,1,-3)\in Vect({\cal S})$

On considère, dans $E={\mathbb{R}}^3$ , les sous-ensembles :

$$\begin{array}{l} F_1=\{(x,y,z)\in{\mathbb{R}}^3 \ \vert \ y=z... ..._3=\{(x,y,z)\in{\mathbb{R}}^3 \ \vert \ y+z=0\} \\ \end{array}$$

F

$dim(F_1)=dim(F_2)=2$ .

V

$F_1$ et $F_2$ sont supplémentaires dans ${\mathbb{R}}^3$ .

F

$F_3\subset F_1$ .

V

$dim(F_2)=dim(F_3)=2$ .

On considère les matrices : $${A= \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2\\ 1 & -3\\ 3 & 0 \end{array}\right)}$$ , $${B= \left(\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right)}$$ et $${C= \left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right)}$$

F

$A.B$ , $B.A$ , $A.C$ et $B.C$ existent.

F

$A.B$ existe et est égal à $${\left(\begin{array}{rrr} 1 & -3 \\ 4 & -3 \end{array}\right)}$$ .

V

$A.C$ existe et est égal à $${\left(\begin{array}{rrr} -1 & 5 \\ 4 & -5 \\ 3 & 3 \end{array}\right)}$$ .

V

$^tC.B$ existe et est égal à $${\left(\begin{array}{rrr} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & 2 \end{array}\right)}$$ .

On considère l'endomorphisme $f$ de ${\mathbb{R}}^3$ défini par $f(x,y,z)=(x+z, 2y-z, x-y-z)$ .

V

La matrice de $f$ dans la base canonique est symétrique.

F

$f\circ f(x,y,z)=(2x-y,-x+5y+z,-y-3z)$ .

F

$f$ n'est pas injectif.

V

$f$ est surjectif.

Soit $f$ définie par $${f(x)={\rm arcsin}\left(\frac{2x}{x^2+1}\right)}$$

F

Le domaine de définition de $f$ est $[-1,1]$ .

V

Pour $x\in]-1,1[$ , $${f'(x)=\frac{2}{x^2+1}}$$ .

V

$${f(2+\sqrt{3})=\frac{\pi}{6}}$$ .

F

$${\lim_{x\to +\infty} f(x)=\frac{\pi}{2}}$$ .

Soit $f$ définie par $f(x)=\displaystyle{\left(\frac{1}{1+x^2} - \cos(x) \right)\frac{1}{x^2}}$

V

$f$ est prolongeable par continuité en 0.

F

$f$ n'est pas prolongeable par continuité en 0.

V

$${-\frac{1}{2}+\frac{23 x^2}{24}}$$ est un développement limité de $f$ à l'ordre 3 en 0.

F

$f$ n'admet pas de limite en $+\infty$ .

(a)

Problème

$$f(x)=\displaystyle{(x+1) \exp\left(\frac{1}{x-1}\right)}$$

1.

Les fonctions composant $f$ sont : le polynôme $x+1$ qui est défini sur ${\mathbb{R}}$ , l'exponentielle qui est aussi définie sur ${\mathbb{R}}$ et la fraction rationnelle qui n'est, elle, définie que sur ${\mathbb{R}}-\{1\}$ . Donc ${\cal D}_f={\mathbb{R}}-\{1\}$ .

2.

La fonction $${x \to \exp\left(\frac{1}{x-1}\right)}$$ est la composée de l'exponentielle, qui est de classe ${\cal C}^\infty$ sur ${\mathbb{R}}$ , et de la fraction rationnelle qui est de classe ${\cal C}^\infty$ sur son domaine de définition, c'est-à-dire sur ${\mathbb{R}}-\{1\}$ . Cette fonction est donc de classe ${\cal C}^\infty$ sur ${\mathbb{R}}-\{1\}$ . $f$ est obtenue en multipliant cette fonction par un polynôme qui est classe ${\cal C}^\infty$ sur ${\mathbb{R}}$ et donc $f$ est de classe ${\cal C}^\infty$ sur ${\mathbb{R}}-\{1\}$ .

3.

Sur ${\mathbb{R}}-\{1\}$ , $${f'(x)= \frac{x(x-3)}{(x-1)^2}\exp\left(\frac{1}{x-1}\right)}$$

4.

$f'$ s'annule en 0 et en 3. $f$ est croissante sur $]-\infty,0]$ et sur $[3,+\infty[$ , elle est décroissante sur $[0,1[$ et sur $]1,3]$

5.

Quand $x$ tend vers 1 en restant supérieur à 1 (à droite), $x-1$ tend vers 0 en restant positif, $${\frac{1}{x-1}}$$ tend vers $+\infty$ et donc l'exponentielle aussi. Le polynôme $x+1$ tend vers 2. Par produit de ces limites, la limite de $f$ à droite de 1 existe et est égale à $+\infty$ .

Quand $x$ tend vers 1 en restant inférieur à 1 (à gauche), $x-1$ tend vers 0 en restant négatif, $${\frac{1}{x-1}}$$ tend vers $-\infty$ et donc l'exponentielle tend vers 0. Le polynôme $x+1$ tend vers 2. Par produit de ces limites, la limite de $f$ à gauche de 1 existe et est égale à 0 .

Les limites à gauche et à droite n'étant pas égales, $f$ n'a pas de limite en 1.

6.

Pour $u\neq 1$ , on a $${(1-u)(1+u+u^2)= 1-u^3}$$ donc $${1+u+u^2= \frac{1}{1-u}-\frac{u^3}{1-u}}$$ ou encore
$${\frac{1}{1-u}=1+u+u^2+u^2\epsilon(u)}$$ qui est un développement limité à l'ordre 2 en 0 de $${\frac{1}{1-u}}$$ . Il suffit ensuite de multiplier par $u$ : $${\frac{u}{1-u}=u+u^2+u^3+u^3\epsilon(u)}$$

7.

On utilise la formule de Taylor et puisque la fonction exponentielle est sa propre dérivée :

$$\exp(v)=\exp(0)+v.\exp(0)+\frac{v^2}{2}.\exp(0)+\frac{v^3}{6}.\exp(0) + \frac{v^4}{24}.\exp(a)$$

pour un $a\in]0,v[$ . D'où

$$\exp(v)=1+v+\frac{v^2}{2}+\frac{v^3}{6}+ v^3\epsilon_2(v)$$

qui est le développement limité à l'ordre 3 en 0 de l'exponentielle.

8.

On compose les deux développements limités en posant $v=u+u^2+u^3$ :

$$exp\left(\frac{u}{1-u}\right) =1 + (u+u^2+u^3) + \frac{(u+u^2+u^3)^2}{2} +\frac{(u+u^2+u^3)^3}{6} + u^3\epsilon_3(u)$$

et on ne garde que les puissances inférieures ou égales à 3 :

$$exp\left(\frac{u}{1-u}\right) =1 + u+u^2+u^3 + \frac{u^2+2u^3}{2}... ...} + u^3\epsilon_4(u) = 1+u+\frac{3}{2} u^2 + \frac{13}{6} u^3+ u^3\epsilon_4(u)$$

9.

On pose $u=1/x$ et on a $${f(x)=\frac{1+u}{u} \exp\left(\frac{u}{1-u}\right)}$$ . Il suffit donc de multiplier le développement limité précédent par la fraction :

$$f(x)=\frac{1+u}{u} \left( 1+u+\frac{3}{2} u^2 + \frac{13}{6} u^3+ u^3\epsilon_4(u)\right)$$

$$f(x)=\frac{1}{u}\left(1+u+\frac{3}{2} u^2 + \frac{13}{6} u^3 + u+u^2+\frac{3}{2} u^3 + \frac{13}{6} u^4\right) + u^2\epsilon_5(u)$$

$$f(x)=\frac{1}{u}\left(1+2u+\frac{5}{2} u^2 + \frac{22}{6} u^3\rig... ...epsilon_6(u) =\frac{1}{u}+2+\frac{5}{2} u + \frac{22}{6} u^2 + u^2\epsilon_6(u)$$

$$f(x)=x+2+\frac{5}{2x} + \frac{11}{3x^2} + \frac{1}{x^2}\epsilon_5(1/x)$$

10.

Il y a une asymptote verticale à droite en 1 puisque la limite à droite en 1 de $f$ est $+\infty$ .

11.

Il y a une asymptote oblique en $+\infty$ et en $-\infty$ . En $+\infty$ , le développement asymptotique obtenu plus haut donne une asymptote d'équation $y=x+2$ . Le même cacul donne aussi le développement asymptotique en $-\infty$ et donc la même asymptote.