Groupe de Travail

« Modélisation et Méthodes Numériques »

Lieu : Université René Descartes
UFR de Mathématiques et Informatique
45 rue des saints-Pères - Paris 6e
4 étage, salle de réunion

Programme 2006

Codes et données: voir ici

Motivations

Tout mathématicien appliqué est confronté à l'utilisation d'algorithmes numériques pour mettre en oeuvre les modèles qu'il développe. Un modèle variationnel donné, par exemple, ne sera pleinement effectif que s'il est associé à une méthode numérique efficace de minimisation de l'énergie qu'il définit. Il est donc utile de maîtriser ces techniques numériques pour bien mettre en valeur les applications de nos recherches. Mais parfois, nous ne sommes pas seulement limités par notre connaissance des algorithmes de résolution numérique pour tel ou tel problème mathématique, mais plus largement par notre connaissance des modèles (variationnels, stochastiques, combinatoires, ...) que l'on pourrait envisager d'associer au problème que l'on cherche à résoudre. Telle technique stochastique, par exemple, sera parfois très efficace pour résoudre un problème a priori déterministe, alors que dans d'autres situations la résolution peut devenir « facile » en reformulant simplement le problème dans un cadre différent (exemple: la programmation dynamique). Une bonne connaissance des techniques de modélisation et de résolution numérique est donc un peu, de ce point de vue, la culture de l'« honnête homme » du mathématicien appliqué.

L'objectif de ce groupe de travail est d'étudier des méthodes numériques récentes ou plus classiques non seulement d'un point de vue théorique, mais aussi d'un point de vue pratique en les testant sur des exemples simples facilement accessibles. Chaque séance pourrait se présenter sous la forme suivante :

• dans un premier temps, un exposé (de 30 à 45 minutes environ) qui décrira la méthode, le ou les algorithmes dérivés, illustrera cette méthode sur des exemples simples en tentant d'analyser l'intérêt, le champ d'application et les limites de la méthode considérée.

• dans un deuxième temps, une réflexion commune alimentée notamment par la possibilité de réaliser des expériences numériques pendant la séance (réflexion sur les paramètres des algorithmes, sur le type et la taille des problèmes susceptibles d'être résolus par cette méthode, etc.)

Préparation

Un tel mode de fonctionnement suppose donc, de la part de la personne qui présente la méthode,

• de programmer ou de récupérer sur le web le ou les algorithmes dérivés;
• de les associer à des expériences numériques simples que chacun pourra reproduire et modifier en séance.

En ce qui concerne le langage utilisé, un concensus autour de Scilab me semble raisonnable dans la mesure où c'est un logiciel libre, qui offre un bon compromis entre puissance et facilité de programmation, d'installation, et d'utilisation. Il n'est pas impossible d'envisager d'autres langages (C ou C++ par exemple), mais il est probable que la question de l'installation de tels codes sur les diverses machines utilisées serait plus critique.

Exemples de thèmes

• Recuit simulé

• Programmation dynamique

• Graph Cuts / Optimisation sur les graphes

• Optimisation convexe et dualité

• Préconditionnement

• Éléments finis

• Echantillonneur de Gibbs / Algorithme de Métropolis / Monte Carlo Markov Chain (MCMC)

• Expectation Maximization (EM)

• Belief Propagation

• Filtre de Kalman

• Méthodes de gradient et gradient stochastique

• Bagging / Boosting

• Support Vector Machines (SVM)

• Diffusion stochastique

• Programmation par contraintes

• ...

Détails pratiques

Les exposés seront faits par des membres du groupe de travail et non par des invités extérieurs. Chaque méthode sera donc présentée par un « non-spécialiste » (i.e. pas un inventeur de la méthode ou de méthodes très proches), ce qui d'une part garantit (presque) une certaine accessibilité de l'exposé, et d'autre part permet de conserver une distance et un recul nécessaires à la discussion qui suivra l'exposé. Il n'est évidemment pas exclu de déroger à ce principe à l'occasion...

Ce groupe de travail aura lieu un vendredi après-midi par mois (en alternance avec le GT image et le GT milieux poreux), avec un rythme d'un exposé par séance. Une durée de 1h15 semble raisonnable (45 minutes d'exposé suivies de 30 minutes de discussion). Il s'agit d'un groupe de travail assez généraliste qui n'a pas vocation à fonctionner avec un groupe restreint, bien au contraire. Son orientation clairement transdisplinaire est une occasion de réunir probabilistes, statisticiens, imagistes et numériciens de Paris 5 (et éventuellement d'ailleurs) autour de problématiques communes. Il est particulièrement ouvert aux doctorants et aux étudiants de M2 de mathématiques, à qui il pourrait apporter des connaissances et une pratique critique des mathématiques intéressantes.