Two dimensional discrete Fourier transform based image processing: how to properly handle nonreal values?
Table of Contents
Continuous and Discrete Fourier transform
Formules + lien continu discret si Lionel est OK (avec citation de son poly dans les références)
The Shannon interpolation
- definition (Shannon interpolate)
- consequence (Shannon theorem)
- consequence (aliasing)
- prop: Shannon interpolate (spatial and Fourier)
What does Hermitian symmetry means for 2D discrete signals?
illustrations
The case of subpixellic translations
on voit que l'interpolée de shannon ne reste pas réelle du point de vue des fréquences, la translation revient à multiplier le spectre par un imaginaire pur, regarder comment est affectee la symétrie hermitienne.
The case of image zooming by the zero-padding
illustration de la problématique (quand une des dimensions est paire, le fait de plonger la dft dans le domaine plus gros casse la symétrie hermitienne)
The symmetrized Shannon interpolation
revient à prendre la partie réelle de l'interpolée de Shannon
Interet :
- algo rapide ok (\(FFT\) & \(FFT^{-1}\) puis on conserve la partie réelle du résultat)
- simplicité de la mise en oeuvre
- justification de la démarche
- discussion sur ce que contenait la partie imaginaire?
- ex dans le cas du zoom
- ex dans le cas des translations sous-pixelliques
The symmetrized Fourier transform
- Est-ce interessant?
- Est-ce générique? (trouver un moyen de formuler ça convenablement)
- quelles garanties nous apporte cette transformation?
- définir la fonction reciproque
- possibilité d'utiliser \(FFT\) et \(FFT^{-1}\)?