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Il y a souvent plusieurs manières d'obtenir le même résultat en
Scilab. On s'efforcera de choisir les solutions les plus compactes,
c'est-à-dire celles qui utilisent au mieux le langage matriciel.
Exercice 1 Écrire (sans utiliser de boucle) les vecteurs suivants :
- Nombres de
à
par pas de
.
- Nombres de
à
par pas de
.
- Carrés des
premiers entiers.
- Nombres de la forme
pour
.
``0
'' suivis de
``
''.
``0
'' suivis de
``
'', suivis de
``
'',...,
suivis de
``
''.
- ``
'', suivi de
``0'', suivi de ``2'', suivi de 2 ``0
'',...
, suivi de ``
'', suivi de
zéros, suivi de ``
''.
``
'' suivi de
``
'', suivis de
``
'',...,
suivis de
``
''.
Exercice 5
- Écrire la matrice carrée
d'ordre
, telle que
si
,
0
sinon.
- Calculer
, pour
.
- Écrire la matrice
, où
est une variable
de polynôme.
- Calculer
, pour
.
- Pour
, et
, calculer
.
Exercice 6 Etant donnée une série numérique convergente

, de somme

, le reste à l'ordre

est défini comme la différence entre la somme et la somme
partielle à l'ordre

.
Le but de l'exercice est de déterminer la valeur de

à partir
de laquelle le reste

est inférieur à

, pour les
séries suivantes.
-
-
-
-
Exercice 9
- Représenter la fonction
sur l'intervalle
.
Sur le même graphique, superposer les représentations
des polynômes de Taylor de cette fonction en
, aux ordres
.
- Représenter la fonction
sur l'intervalle
.
Sur le même graphique, superposer les représentations
des polynômes de Taylor de cette fonction en
, aux ordres
.
- Représenter la fonction
sur l'intervalle
. Sur
le même graphique, superposer les représentations
des polynômes de Taylor de cette fonction en
, aux ordres
.
Exercice 12 Pour chacune des courbes paramétrées suivantes, on choisira un
intervalle de valeurs du paramètre et un pas de discrétisation
assurant une représentation complète et suffisamment lisse.
Exercice 14 Le but de l'exercice est de visualiser un cône de différentes
manières.
- Représenter la surface d'équation
.
- Représenter la surface paramétrée définie par :
- Représenter la courbe paramétrée définie par :
(On choisira une valeur de
suffisamment grande).
- Représenter la famille de courbes paramétrées définies par :
Exercice 19 Écrire les fonctions suivantes. Toutes prennent en entrée une fonction
externe

(de

dans

), et trois valeurs

,

et

(supposées telles que

).
derive
:
Elle calcule numériquement et représente graphiquement
la dérivée de
sur l'intervalle
. Elle retourne la
valeur approchée de
.
tangente
:
Elle représente la fonction
sur l'intervalle
, elle
superpose sur le même graphique la tangente à
au point
, et
retourne l'équation de cette tangente comme un polynôme du premier
degré.
araignee
:
Elle représente la fonction
sur l'intervalle
,
ainsi que la droite d'équation
(première bissectrice).
Elle calcule et retourne les
premiers itérés de
en
(
). Elle représente la suite de
segments, alternativement verticaux et horizontaux, permettant de visualiser
les itérations : segments joignant
,
,
,
,
, ...
newton
:
Elle représente la fonction
sur l'intervalle
.
Elle calcule et retourne les dix premiers itérés de la suite définie
à partir de
par la méthode de Newton :
,
... Les valeurs de la dérivée sont
approchées. La fonction représente sur le même graphique les
segments permettant de visualiser les itérations : segments joignant
,
,
,
,
,
,...
Exercice 20 Soit

un entier,

et

deux vecteurs de réels. On appelle
``polynôme interpolateur de Lagrange'' des

aux abscisses

, le polynôme

défini par :
- Écrire une fonction
poly_Lagrange
, qui prend en entrée
deux vecteurs
et
de meme taille.
Elle retourne le polynôme interpolateur de Lagrange
.
Elle represente sur le même graphique les points de coordonnées
et le graphe du polynome
.
- Tester votre fonction avec :
x=[-5:5]; y=x.^2
, puis y=x.^3-2*x.^2+4*x+1;
(verifier que y-horner(P,x)
est proche de 0).
Tester votre fonction avec
plusieurs realisations de x=rand(1,10); y=rand(1,10);
Exercice 21
- Écrire une fonction
integre_rectangles
qui prend en entrée un
vecteur
d'abscisses et un vecteur
d'ordonnées et qui
calcule l'intégrale approchée de f par la méthode des rectangles
à gauche :
Comparer les résultats de cette fonction sur plusieurs intégrales,
calculées explicitement et avec les fonctions intrap
et intsplin
.
- Même question avec la méthode des trapèzes :
Exercice 22
- L'intégrale de 0
à
de
vaut
. Donner une representation graphique convaincante
de la fonction. Écrire une suite de commandes qui
permette de calculer l'intégrale avec une
précision de
, avec chacune des fonctions
inttrap
, intsplin
integ
et intg
.
- Même question pour l'intégrale sur
de
qui vaut
.
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Georges Koepfler
2011-01-19