Simulation du théorème de convergence normale d'Allais
Pour simuler
le théorème T d'Allais sur des données fictives, jai procédé comme suit.
. Création de la variable t (« temps »), dans l’intervalle (0,1) (avec un pas de .01), et de la variable x1(t) = sin (2pi t), fonction (sinusoïde) de t de période 1.
. Construction des 3 autres variables de base x2(t), x3t(t), x4(t) , sinusoïdes de périodes respectives 1/pi, 1/pi2, 1/pi3 (j'ai suivi la suggestion de Bass, p.178) .
. Construction des variables-sommes x12= x1 + x2, x123 = x12 +x3, x1234 = x123 + x4; qui sont des fonctions quasi-périodiques de t.
Pour chaque variable fonction du temps, on construit sa représentation graphique en fonction de t puis on construit sa distribution sous forme d'histogramme, qui associe à chaque intervalle T sous-intervalle de (0,1) la proportion du temps (dans l'intervalle (0,1)) où la valeur de la variable se trouve dans l’intervalle T.
Sur les résultats de la simulation, on vérifie d'une part que pour chacune des variables composantes, qui sont des sinusoïdes, l’histogramme a bien la forme en U (« antinormale »); d'autre part, que les histogrammes des variables-sommes se rapprochent de la forme normale, conformément au théorème T de convergence normale d' Allais. On constate sur cet exemple la rapidité de la convergence.
Références complémentaires
Allais M. (30 Mai 1983), Sur la distribution normale des valeurs à des instants régulièrement espacés d'une somme de sinusoïdes, C.R. Acad. Sc. Paris, Série 1, p.829-832; et M. Allais ((1983) Généralisations et interprétations du théorème (T), Octobre 1983]]
Bass J. (1984).Fonctions de corrélation ; fonctions pseudo-aléatoires et applications, Paris : Masson.
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