L.MOISAN PhD

L.MOISAN PhD Traitement numérique d'images et de films :
équations aux dérivées partielles préservant forme et relief.

Lionel Moisan

PhD Dissertation, CEREMADE, Université Paris IX-Dauphine, june 1997.

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Abstract

The recognition of partially occluded planar shapes necessarily involves a local computation of characteristic points (curvature extrema, inflexion points,...), and this computation requires a shape smoothing process. If the recognition is considered up to all affine transformations of the plane, then this process is unique : this is the affine scale space, discovered in 1993, which can be described by an evolution equation. In the first part of this study, we show how this equation can be solved numerically with a high accuracy, by iterating a continuous, geometric and global operator which can be exactly computed. Full consistency and convergence results are provided, as well as conclusive numerical experiments. This method goes beyond classical finite differences schemes that never manage to satisfy rigorously the affine invariance and the inclusion principle.

In a second part, we study a fundamental problem of robotics : the depth recovery from a sequence of images. We prove that when the camera motion can be controlled, there fundamentally exists only one way to process the image sequence and preserve the underlying depth in the same time. This process, obtained from an axiomatic formulation, can be described by a nonlinear second-order degenerate parabolic partial differential equation, which presents a strong singularity inherent to the depth recovery problem. We establish existence and uniqueness results for this equation, and we highlight several properties which can be easily interpreted from a physical point of view. Last, we describe a numerical scheme, and show on experiments how the filtering process, thanks to the coherence it induces, brings back the depth recovery to an elementary and robust computation.

Résumé

La reconnaissance de formes planes partiellement masquées ne peut se faire que localement en calculant des points caractéristiques (extremas de courbure, points d'inflexions,...), et ce calcul requiert un procédé de lissage des formes. Si l'on veut effectuer cette reconnaissance modulo toutes les déformations affines du plan, alors ce procédé est unique : c'est le scale space affine, découvert en 1993, qui peut être décrit par une équation d'évolution. Dans la première partie de cette thèse, nous montrons comment résoudre cette équation numériquement avec précision, en itérant un opérateur continu, géométrique, global et exactement calculable. Des propriétés de consistance forte et de convergence sont établies et validées par de nombreuses expériences numériques. Ce procédé offre des performances bien supérieures aux schémas classiques aux différences finies, qui ne peuvent vérifier rigoureusement l'invariance affine et le principe d'inclusion.

Dans une deuxième partie, nous étudions l'un des problèmes fondamentaux de la robotique, la reconstruction du relief à partir d'une séquence d'images. Il s'avère que lorsque le mouvement de l'observateur peut être déterminé, il n'existe fondamentalement qu'une seule manière de filtrer la séquence d'images tout en préservant le relief sous-jacent. Ce filtrage, obtenu grâce à une démarche axiomatique, se formule par une équation aux dérivées partielles non linéaire du second ordre, parabolique dégénérée, qui présente une singularité très forte inhérente au problème de reconstruction. Nous établissons des résultats d'existence et d'unicité pour cette équation, puis mettons en évidence certaines propriétés mathématiques qui se prêtent facilement à une interprétation physique. Enfin, nous décrivons un schéma numérique adapté, et réalisons des expériences qui montrent que ce filtrage, par la cohérence qu'il induit, ramène le procédé de reconstruction à un calcul élémentaire et fiable.