1.
Première idée-force : formelle - Les piliers de la
formalisation- Note complémentaire sur la formalisation
2. Deuxième
idée-force : géométrique
3. Troisième
idée-force : descriptive-inductive
4. Quatrième
idée-force : spécifique
5. Statistique et
Probabilités - Fondements des probabilités - Trois cadres
d'inférence statistique
PREMIERE IDEE-FORCE : FORMELLE
Statistique et mathématiques
A l'évidence, les
procédures statistiques font constamment appel à
des techniques
numériques:
calcul linéaire,
calcul différentiel et intégral, etc. Dès ce
niveau, on peut dire que la statistique repose sur
les mathématiques.
Cependant, comme on
sait, le
calcul numérique ne constitue qu'une partie des mathématiques, qui sont
fondées sur des structures
(souvent dites "abstraites", par opposition à
numériques), telles que la théorie des ensembles ou
l'algèbre linéaire. Or ce que nous
avons toujours constaté, c'est que ce qui donne sens
aux procédures statistiques,
ce sont ces structures mathématiques. Ainsi, plus
profondément, on peut dire encore que la statistique
repose sur les mathématiques.
La formalisation, ou approche formelle de
la
statistique - notre première idée-force -
consiste à ancrer directement les
méthodes statistiques sur les structures
mathématiques. Dans cette approche, les
notions
statistiques sont formalisées en tant que concepts d'une
théorie
mathématique constituée, comme la théorie des
ensembles ou l'algèbre linéaire. La théorie
mathématique peut dès lors être
utilisée directement pour poser et résoudre les
problèmes statistiques et développer les
procédures. En bref,
les structures commandent les procédures!
Un
paradigme de l'approche formelle : la méthode des moindres
carrés
La méthode des moindres carrés fournit une illustation exemplaire de l'approche formelle (Rouanet & Le Roux, 1993, p.33).
- Le problème statistique : on se donne une famille de variables prédictrices et une variable à prédire ; on cherche la combinaison linéaire des variables prédictrices la plus corrélée avec la variable à prédire.
- Formalisation en termes d'algèbre linéaire: les variables centrées sont formalisées comme les vecteurs d'un espace euclidien, muni de la covariance comme produit scalaire (d'où les concepts de distance, d'angle et de projection orthogonale); l'espace engendré par les variables prédictrices est un sous-espace de cet espace euclidien.
- Le problème mathématique (traduction du problème statistique) : trouver le vecteur d'un sous-espace le plus proche (au sens de la métrique euclidienne) d'un vecteur donné.
- La solution mathématique (classique en algèbre linéaire) : le vecteur cherché est la projection orthogonale du vecteur sur le sous-espace.
- La solution statistique (retraduction en langage statistique): les coordonnées du vecteur projeté deviennent les coefficients de régression, les équations donnant ces coordonnées deviennent les "équations normales" classiques de la régression.
En somme, on formalise, puis on applique les théorèmes mathématiques. Il n'y a pas, à proprement parler, de "démonstration statistique".
Formalisation ensembliste
. La réorganisation de la traditionnelle "hiérarchie" des "échelles de mesure" ("nominales, ordinales, intervalles) à partir des structures des données. Voir Tirons l'échelle; cf. les chapitres III et suivants de Rouanet, Le Roux, Bert (1987).
. La structuration des données, à la base des logiciels VAR3 et EyeLID: voir sous-section suivante.
. L'inférence ensembliste (ou combinatoire), basée sur les proportions d'échantillons, qui constitue le premier stade de l'inférence statistique, improbable chaînon entre statistique descriptive et statistique inductive: cf. Inférence combinatoire, et Rouanet, Bernard, Le Roux (1991).
Structuration des données
La structuration des données, avec le langage des plans et le langage d'interrogation de données (LID) est sans doute l'apport le plus important de la formalisation dans nos travaux, il mériterait un module à lui seul. Dès 1968 (Rogalski & al), nous écrivions ceci: "Les structures mathématiques sous-jacentes aux procédures statistiques se trouvent souvent en réalité plus proches des intentions du chercheur que les procédures de calcul elles-mêmes; d'où l'intérêt pratique d'expliciter celles-ci."
En bref, face à des données complexes, la structuration des données permet de formuler les questions de recherche, préalablement à tout calcul statistique et en préparant la voie à celui-ci.
Le langage des plans (implanté dans le logiciel VAR3) est organisé à partir des relations entre les facteurs d'un plan: emboîtement (relation notée < >) et croisement (notée *); il met l'accent sur la notion de comparaison.
Le langage d'interrogation de données (LID) (implanté dans le logiciel EyeLID), élargit le précédent, et met l'accent sur la dérivation de protocoles.
Voir Analyse de la Variance et Données structurées;
et Réalisations: logiciels
Les piliers de la formalisation