STATISTIQUE ET PROBABILITES

Fréquences et probabilités: un même calcul des proportions

Fréquence n'est pas probabilité. Une fréquence est une proportion d'observations; une probabilité est la mesure d'une incertitude sur un événement. Mais  d'un point de vue formel, fréquences et  probabilités sont l'une et l'autre des mesures positives de masse totale unité. Cette remarque a été faite de longue date, sous des plumes  diverses voire inattendues; voir  les  Notes de lecture Paul Valéry, Maurice Allais.  Si l'on désigne par calcul des proportions  les  règles de calcul de cette structure mathématique commune, fréquences et probabilités relèvent  d'un même  calcul des proportions, ainsi que nous l'avons développé dans  Rouanet (1982).
On passe des fréquences aux probabilités à l'aide du  tirage au sort. Si dans une population de 100 conscrits  parmi lesquels 20 "ont une instruction supérieure"  on tire au sort un conscrit, la probabilité d'obtenir un individu d'"instruction supérieure" est de 20/100 (= 20%). La conversion naïve des fréquences en probabilités est une pratique langagière des plus communes. La conversion naïve inverse existe aussi: un chirurgien au lieu de dire à son patient: "L'opération  a 90 pour 100 de chances de réussir", lui  déclarera : "Sur 100 cas comme le vôtre, l'opération réussit 90 fois". Ces abus de langage ne tirent  pas  à conséquence,  tant que - le paradoxe n'est qu'apparent - on s'en tient à  la statistique descriptive,  où n'interviennent que des fréquences. 
En  inférence statistique, où interviennent à la fois de véritables  fréquences (proportions d'observations) et de véritables probabilités (mesures d''incertitude), la distinction entre fréquence et probabilité devient impérative. Par exemple, on connaît  la fréquence dans un échantillon des votes favorables à un candidat, on s'interroge sur  la valeur inconnue de la fréquence  correspondante dans la population; le problème est d'évaluer la probabilité que  la fréquence dans la population dépasse 1/2. Dans cette situation, parler indistinctement de fréquences (ou de probabilités)  relèverait  de la confusion mentale et  anéantirait tout espoir de seulement poser le problème.
En somme, il est indispensable: d'une part de percevoir clairement les propriétés formelles communes aux fréquences et aux probabilités, qui constituent la syntaxe du calcul des proportions; d'autre part de dissocier, dans les constructions  de l'inférence statistique, les deux  sémantiques: fréquences et probabilités.
L'idée d'un même calcul des proportions intervenant sous diverses formes et interprétations  dans les procédures statistiques pourrait être notre cinquième idée-force (ou notre troisième pilier).   

Langage et notation non-probabilistes des variables 

En calcul des probabilités on parle de "distributions de probabilité" et de "variables aléatoires". En calcul des proportions,  il suffit d'omettre les qualificatifs "de probabilité" et "aléatoire". Ainsi on parlera de  distribution normale, de variable normale réduite  z, etc.  Les notations usuelles peuvent être conservées, la lettre p étant lue non plus comme "probabilité", mais comme "proportion" : Exemple: p(z>1.96) = 0.025, qu'on lira "La proportion des valeurs de la variable normale réduite z supérieures à 1.96 est égale à 0.025, etc . Voir  le chapitre Distributions in Rouanet & Le Roux  (1990).

Les probabilités en inférence statistique; trois cadres d'inférence

 L'insertion des probabilités en inférence statistique renvoie au problème du fondement des probabilités, et conduit à définir divers cadres d'inférence statistique. En effet, toute procédure d'inférence statistique comporte:
. un algorithme, qui stipule la marche à suivre pour pratiquer  la procédure;
. un cadre de justification et d'interprétation, qui donne sens à la procédure.

Les cadres d'inférence diffèrent selon le mode d'intervention des probabilités.

. Le cadre combinatoire. L'intervention minimale consiste à ne retenir des probabilités que la syntaxe  du calcul des proportions; elle définit  le cadre que nous appelons  combinatoire   (ou ensembliste).   

Les deux cadres classiques, dans lesquels la probabilité intervient  avec sa sémantique, sont les suivants:

. Le cadre fréquentiste. La probabilisation porte exclusivement sur les observations, conditionnellement à des valeurs hypothétiques des paramètres; sémantiquement les probabilités sont conçues comme des fréquences "in the long run". Dans sa version radicale, le cadre fréquentiste exclut toute  probabilité sur les paramètres, et partant toute probabilité  des hypothèses. 
Le cadre fréquentiste, mis en place à la fin du 19ème siècle, reste encore  le cadre dominant de la statistique académique actuelle;  mais il va  à l'encontre des exigences raisonnables de la statistique des chercheurs. Pour une critique, voir le module Fondements, et notre Dialogue.  

. Le cadre bayésien. La probabilisation porte aussi bien sur les observations que sur les paramètres.   Le cadre bayésien est  un enrichissement  du cadre fréquentiste; il restitue la sémantique naturelle des probabilités  et permet   les probabilités des hypothèses.
Le cadre bayésien, plus ancien que le cadre fréquentiste (il remonte à Bayes et Laplace au 18ème siècle), est resté longtemps en position dominée;  il connaît aujourd'hui des développements considérables.  Cf. Inférence bayésienne.

Trois interprétations d'un même algorithme

. Cadre ensembliste: la proportion des échantillons (sous-ensembles d'une distribution normale) dont la différence des moyennes est supérieure à la valeur d  est égale à p = .01. 

. Cadre fréquentiste. Si la différence des moyennes parentes (paramètre) est nulle, la probabilité  d'observer une  différence supérieure à d  est égale à p= .01.

. Cadre bayésien (moyennant une distribution initiale non-informative). La probabilité que la différence parente soit négative (c'est-à-dire de sens contraire à la différence observée) est égale à  p= .01 (interprétation laplacienne du seuil).